Cực trị hình học về độ dài, chu vi, diện tích

2021/03/30 15:33

#hình học #cực trị

Đường ngắn nhất nối hai điểm

Bài toán 1. Cho hai điểm AABB trên mặt phẳng. Khi đó đường ngắn nhất nối hai điểm đó là gì?

Đáp án chắc chắn là đoạn thẳng nối hai điểm. CH cũng không biết chứng minh sau đây có chặt chẽ không vì cũng có tạm công nhận một kết quả.

Lời giải.

Giả sử tồn tại đường nối AA, BB có độ dài nhỏ nhất và gọi đường đó là ω\omega. Kí hiệu độ dài của đường dd bất kì là d|d|.

Nhận xét 1. Đường ngắn nhất nối hai điểm AA', BB' có độ dài là ω.ABAB\frac{|\omega|.A'B'}{AB}.

Nhận xét 2. Xét họ SS các đường thẳng vuông góc với ABAB tại một điểm bất kì thuộc ABAB. Khi đó dS\forall d \in S thì dd chỉ cắt ω\omega tại một và chỉ một điểm.

Thật vậy

Rõ ràng dS\forall d \in S đều cắt ω\omega tại 1\geq 1 điểm.

Giả sử dS\exists d \in S cắt ω\omega tại nhiều hơn 11 điểm. Gọi X1X_1X2X_2 là hai trong số các giao điểm.

Ta tịnh tiến phần đường ω\omega nằm trong nửa mặt phẳng chứa BB có bờ là X1X2X_1X_2 theo vector X2X1\overrightarrow{X_2X_1} như sau

Đường ω\omega ' được tạo từ phần đường ω\omega nằm trong nửa mặt phẳng chứa AA và phần đường ω\omega nằm trong nửa mặt phẳng chứa BB sau khi tịnh tiến. Đường này nối điểm AABB'.

Rõ ràng, ω<ω|\omega'| <|\omega|.

Mặt khác lại có AB>ABAB'>AB' nên ω=ω.ABAB>ω|\omega'|=\frac{|\omega|.AB'}{AB}>|\omega|. (mâu thuẫn)

Do đó, ta có Nhận xét 2. là đúng.

Không mất tính tổng quát, cho AB=1AB=1 và gắn ABAB vào trục toạ độ trùng với đoạn [0,1][0,1] trên trục hoành. Theo Nhận xét 2. thì đường thẳng ω\omega phải biểu diễn được bằng phần đồ thị của một hàm số f(x)f(x) nào đó giới hạn bởi x=0x=0x=1x=1 và thoả mãn f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0.

Ta sẽ chứng minh f(x)=0x[0,1]f(x)=0 \forall x \in [0,1].

Chứng minh phản chứng, giả sử tồn tại x0[0,1]x_0 \in [0,1] để f(x0)0f(x_0) \neq 0. Gọi SS là giao điểm của x=x0x=x_0 với f(x)f(x).

Gọi XiX_i là giao điểm của đường thẳng x=x0.inx=x_0. \frac{i}{n} với f(x)f(x) (0in,nN)(0 \leq i \leq n, n \in \mathbb{N}^*).

Gọi YiY_i là giao điểm của đường thẳng x=x0+(1x0).inx=x_0 + (1-x_0). \frac{i}{n} với f(x)f(x) (0in,nN)(0 \leq i \leq n, n \in \mathbb{N}^*).

Khi đó, limP(k)=lim(i=02k+1XiXi+1+i=02k+1YiYi+1)=ωlim P(k) = lim (\sum_{i=0}^{2^k+1} X_i X_{i+1} + \sum_{i=0}^{2^k+1} Y_i Y_{i+1}) = |\omega|.

Dễ thấy P(k)P(k+1)P(k) \leq P(k+1) vận dụng bất đẳng thức tam giác. Suy ra P(k)ωP(k) \leq |\omega|.

P(k)>ABP(k) > AB k\forall k.

Nên ωP(k)>AB|\omega| \geq P(k) > AB.

ω|\omega| là nhỏ nhất nên ωAB|\omega| \leq AB.

Điều này là vô lý.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Suy ra, ω\omega phải là đường thẳng. Vậy đường ngắn nhất nối hai điểm AABB là đường thẳng.

Đa giác có diện tích lớn nhất nội tiếp một đường tròn

Bài toán 2. Cho (O)(O) cố định. Hỏi trong các đa giác nn-cạnh nội tiếp đường tròn (O)(O) thì đa giác nào có diện tích lớn nhất?

Chứng minh được đa giác nn-cạnh muốn diện tích lớn nhất thì phải là đa giác đều.

Quay trở về Blog