Miscellaneous Math problems - Hình học

2021/03/19 09:32

#hình học #miscellanea

Post tập hợp linh tinh một số bài toán Hình học.

– Con Heo’s solution –

Bài toán 1

(Nguồn không rõ)

Cho ABC\triangle ABC (AB<BC)(AB< BC) nội tiếp (O)(O). Trên đoạn ACAC lấy điểm B1B_1 sao cho AB=BB1=cAB=BB_1=c. Gọi R1R1 là bán kính đường tròn (O1)(O_1) tiếp xúc với BB1BB_1, B1CB_1C và cung nhỏ BCBC (không chứa AA), R2R2 là bán kính đường tròn nội tiếp BB1C\triangle BB_1 C. CMR: R1=2R2R1=2R2.

Lời giải thầy giáo đưa CH sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 1. ABC\triangle ABC với BC=aBC=a, CA=bCA=b, AB=cAB=c nội tiếp (O)(O). Một đường tròn (O)(O') thay đổi luôn tiếp xúc với cung BCBC (không chứa AA). Gọi lal_a, lbl_b, lcl_c lần lượt là độ dài các tiếp tuyến xuất phát từ các đỉnh AA, BB, CC tới đường tròn (O)(O'). Khi đó: a.la=b.lb+c.lca.l_a = b.l_b +c.l_c.

Ngoài ra lời giải cũng sử dụng một số biến đổi và định lý cosin.

Sau đây là một lời giải khác.

Lời giải.

Lấy MM đối xứng với B1B_1 qua BCBC, (O)(O') đối xứng (O)(O) qua BCBC.

Gọi (I)(I)(I)(I') lần lượt là tâm của đường tròn (BB1C)(BB_1C)(CBM)(CBM).

Gọi BB', MM', CC' lần lượt là trung điểm MCMC, BCBC, BMBM.

Xét phép vị tự VM2V^2_{M}:

(I)(O1)(I') \mapsto (O_1')

CBC' \mapsto B

BCB' \mapsto C

MM1M' \mapsto M_1'

(CBM)(BM1C)(C'B'M') \mapsto (BM_1'C)

BM1C^=BMC^=BB1C^\widehat{BM_1C} = \widehat{BMC} = \widehat{BB_1'C}.

    BM1B1C\implies BM_1'B_1C nội tiếp.

    (BM1C)(BB1C)\implies (BM_1'C) \equiv (BB_1C).

Áp dụng định lý Feuerbach cho tam giác BMCBMC với (I)(I') là đường tròn nội tiếp và (BCM)(B'C'M')đường tròn Euler thì ta được (I)(I') tiếp xúc với (BCM)(B'C'M')     (O1)\implies (O_1') tiếp xúc với (BB1C)(BB_1C).

Lấy (O1)(O_1'') đối xứng với (O1)(O_1) qua BCBC thì (O1)(O_1'') tiếp xúc với (BB1C)(BB_1C).

O1O_1''O1O_1' đều nằm trên phân giác BMC^\widehat{BMC}.

Nên (O1)(O1)(O_1'') \equiv (O_1').

Do đó, VM2:(I)(O1)    R(I)=12R(O1)V^2_{M}: (I') \rightarrow (O_1'') \implies R_{(I')}=\frac{1}{2}R_{(O_1'')}.

Suy ra R2=12R1R_2=\frac{1}{2}R_1.

Quay trở về Blog