Miscellaneous Math problems - Số học

2021/03/19 08:57

#số học #miscellanea

Post tập hợp linh tinh một số bài toán Số học.

– Con Heo’s solution –

Bài toán 1

(không rõ nguồn)

Số nguyên dương nn. Đặt xn=1n+1C2nnx_{n}=\frac{1}{n+1}C^{n}_{2n}.

a. CMR: xnx_n là số nguyên dương n\forall n.

b. CMR: xnx_n không phải là số nguyên tố n>3\forall n>3.

Trên thực tế, xn=1n+1C2nnx_{n}=\frac{1}{n+1}C^{n}_{2n} chính là số khả năng mà UU có thể dành chiến thắng trong bài toán sau.

Bài toán. Tổng thống đơn nhiệm (T)(T) và ứng cử viên (U)(U) cùng tranh cử. UUn1n \leq 1 người ủng hộ, TTn1n-1 người ủng hộ. TT có quyền dừng cuộc bầu cử bất cứ lúc nào. Mọi người được bầu theo một thứ tự ngẫu nhiên và TT biết được thông tin mọi lúc để ra quyết định. Tính xác suất để UU thắng.

Bởi vì số khả năng phải là một số tự nhiên nên có thể suy ra xn=1n+1C2nnNx_{n}=\frac{1}{n+1}C^{n}_{2n} \in \mathbb{N}. Nhưng như vậy sẽ rất dài dòng và thiếu tự nhiên. Sau đây là một lời giải.

Lời giải.

a. Ta có

nxn=nn+1C2nn=(2n)!n!n!nn+1=(2n)!(n1)!(n+1)!=C2nn1Znx_{n}=\frac{n}{n+1}C^n_{2n}=\frac{(2n)!}{n!n!}\frac{n}{n+1}=\frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}=C^{n-1}_{2n} \in \mathbb{Z}.

    nn+1C2nnZ    nC2nnn+1\implies \frac{n}{n+1}C^n_{2n} \in \mathbb{Z} \implies n C^n_{2n} \vdots n+1

    C2nnn+1\implies C^n_{2n} \vdots n+1 (do (n,n+1)=1(n,n+1)=1)

    xn=1n+1C2nnZ\implies x_n = \frac{1}{n+1}C^n_{2n} \in \mathbb{Z}.

b. n>3n>3

Ta có

n(n1)(n+1)(n+2)C2nn=(2n)!n!n!n(n1)(n+1)(n+2)=(2n)!(n2)!(n+2)!=C2nn2Z\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}C^n_{2n}=\frac{(2n)!}{n!n!}\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}=\frac{(2n)!}{(n-2)!(n+2)!}=C^{n-2}_{2n} \in \mathbb{Z}.

Suy ra n+2n(n1)xnn+2 | n(n-1)x_n (1)(1)

Giả sử xnx_n là số nguyên tố.

Lại có 1n+1C2nn>1n+1C2n2=2n(2n1)2(n+1)=n(2n1)n+1>n+2\frac{1}{n+1}C^n_{2n}>\frac{1}{n+1}C^2_{2n}=\frac{2n(2n-1)}{2(n+1)}=\frac{n(2n-1)}{n+1}>n+2.

Do đó, (xn,n+2)=1(x_n,n+2)=1.

Từ (1)(1) suy ra

n+2n(n1)n+2 | n(n-1)     n+2n2n    n+24n\implies n+2 | n^2 - n \implies n+2 | 4-n     n+26    n=4\implies n+2 | 6 \implies n=4 (do n>3n>3).

Thử lại thì x4x_4 không thoả mãn.

Như vậy xnx_n không là số nguyên tố n>3\forall n>3.

Quay trở về Blog