Tổng các luỹ thừa và Tính chính phương (1)

2021/03/13 15:32

#toán #số học #giải tích

Bài toán. (Nguồn chưa rõ) Cho P(n)=a.2n+bP(n) = a.2^n + b. Tìm aa, bb Z\in \mathbb{Z} để P(n)P(n) là số chính phương nN\forall n \in \mathbb{N}.

Lời giải 1. Link

Tổng quát.

Bài toán. Cho trước mNm \in \mathbb{N}P(n)=amn+bP(n) = am^n + b. Tìm aa, bb Z\in \mathbb{Z} để P(n)P(n) là số chính phương nN\forall n \in \mathbb{N}.

– Con Heo’s solution –

Lời giải 2.

Dễ thấy aNa \in \mathbb{N}.

Giả sử a0a \neq 0.

Đặt xn=P(n)Nx_{n} = \sqrt{P(n)} \in \mathbb{N}.

Ta có

xn+2mxn=P(n+2)mP(n)=a.mn+2+bma.mn+b=(1m2)ba.mn+2+b+ma.mn+b0x_{n+2} - mx_{n} = \sqrt{P(n+2)} - m\sqrt{P(n)} = \sqrt{a.m^{n+2}+b} - m\sqrt{a.m^{n}+b} = \frac{(1-m^2)b}{\sqrt{a.m^{n+2}+b} + m\sqrt{a.m^{n}+b}} \rightarrow 0

a.mn+2+b+m.a.mn+b+\sqrt{a.m^{n+2}+b} + m.\sqrt{a.m^{n}+b} \rightarrow +\infty do a>0a>0.

xn+2mxnZx_{n+2} - mx_{n} \in \mathbb{Z} nên N:nN\exists N: \forall n \geq N để:

xn+2mxn=0x_{n+2} - mx_{n} = 0.

    xn+2=mxn,nN\implies x_{n+2} = mx_{n}, \forall n \geq N.

    P(n+2)=m2P(n),nN\implies P(n+2) = m^2P(n), \forall n \geq N.

    b=m2b\implies b = m^2b.

    b=0\implies b = 0.

    am,am2\implies am, am^2 là các số chính phương.

    a=0\implies a=0. (mâu thuẫn)

Suy ra a=0a = 0. Hiển nhiên khi đó bb phải là số chính phương.

Vậy (0,t2)(0,t^2) với tNt \in \mathbb{N} là các cặp (a,b)(a,b) cần tìm.

Quay trở về Blog